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\font\ninerm=cmr9
\font\eighttt=cmtt8

\centerline{\bf Confessioni d'un Matematico Apostata}\medskip

\centerline{Edward Nelson}

\centerline{dipartimento di matematica}

\centerline{Universit\`a di Princeton}

\centerline{\eightrm http:$\scriptstyle\slash\slash$www.math.princeton.edu$\scriptstyle\slash\scriptscriptstyle\sim$nelson$\scriptstyle\slash$papers.html}
\bigskip

Nel mezzo del periodo tra Mos\`e e Ges\`u \`e apparsa una figura
anch'es\-sa dotata di un forte carisma: Pitagora dalla coscia d'oro. 
Figlio di una greca
e d'un fenicio, visse per anni in Egitto, sub\`\i\ un periodo
di cattivit\`a in Babilonia, e fond\`o la ``Fratellanza Pitagorica''
nell'\hskip1pt Italia meridionale. La fratellanza era cosa rara 
per l'epoca sua,
e purtroppo!~anche per la nostra: una vera fratellanza {\it e
sorrellanza}.
Le leggende che circondano la figura di Pitagora variano 
sfrenatamente l'una dall'altra,
ma tutte attestano che la sua persona e il suo volto in particolare
emanavano una straordinaria radiosit\`a. 

Per sviluppare la mia tesi, devo parlare della matematica 
dell'anti\-chit\`a. La mia conoscenza di questo campo \`e per\`o superficiale,
di seconda mano. E non c'\`e un ``pur tuttavia'' che segue a questa mia 
constatazione: voglio soltanto
ammettere fin dall'\hskip1pt inizio una debolezza in questa mia presentazione.

Non c'era la matematica prima di Pitagora, come non c'era il
cristianesimo prima di Ges\`u. Il racconto che gli egiziani
scoprirono la geometria a causa delle inondazioni annuali del Nilo
\`e dello stesso genere del racconto di Newton e la mela.
I babilonesi erano maghi della computazione: avevano almeno uno dei due
metodi per generare ci\`o che chiamiamo ora i tripli di Pitagora
(come Otto Neugebauer ha brillantamente dimostrato dalle tavolette
cuneiformi della collezione Plimpton), potevano approssimare la
radice quadrata di due a tante cifre sessagesimali quante volevano.
Ma la questione della razionalit\`a o dell'\hskip1pt irrazionalit\`a della
radice quadrata di due non avrebbe avuto nessun senso per loro,
perch\`e non avevano i numeri nella loro struttura concettuale.
Non c'\`e da stupirsi di questo: davvero a quei tempi i numeri 
non esistevano ancora. 

I numeri sono stati inventati -- oppure ``rivelati'', come sosterrebbero
i credenti -- da Pitagora. Per lui i numeri sono divini, 
la sola vera divinit\`a,
la fonte di tutto quello che esiste nel mondo. Essi sono sacri, oggetti
di autentica venerazione. Tale \`e la religione pitagorica, e tale \`e
l'origine della matematica. \`E questa la religione dalla quale
sono apostata.

E che religione straordinaria \`e questa! Se non fosse stato per 
Pita\-go\-ra, a chi sarebbe mai venuto a mente che fosse cosa buona e
giusta avere delle comunit\`a di persone che si riunivano esclusivamente
per riflettere e meditare con inusitata profondit\`a su numeri e grandezze, 
e cos\`\i\ cominciare a tessere una trama complessa di deduzioni formali
che ben presto hanno oltrepassato l'\hskip1pt imma\-ginazione
-- un tessuto di ragionamento
che ormai copre il globo e che si stende attraverso i millenni?
\bigskip\goodbreak

{\noindent\bf Eudosso}\medskip

Platone si spinse fino in Sicilia per poter ottenere un manoscritto
pita\-gorico. Platone era un tipo orribile, l'origine di un male 
persistente dal quale il mondo ancora non si \`e liberato,
ma fu il maestro di Eudosso. Quando ebbi l'occasione di trovarmi 
nell'agor\`a di Atene,
i pensieri di Socrate, di Platone, d'Aristotele, di San Paolo,
dei grandi tragediografi greci che si affacciavano alla mia mente, svanirono come
d'incanto con la consapevolezza che io
stavo camminando dove una volta aveva camminato Eudosso! Eudosso \`e stato il
pi\`u grande matematico di tutti i tempi. \`E stato lui ad inventare il metodo
delle esauastioni (integrali definiti) che Archimede ha in seguito
sviluppato con tanto successo. \`E stato lui che per primo enunci\`o il principio
sottile che chiamiamo ``l'assioma di Archimede'', ma che Archimede medesimo 
attribuisce a Eudosso. Questo eccezionale matematico ha anche prodotto 
un lavoro estremamente complesso
sul moto apparente dei pianeti e in pratica ha fondato la fisica matematica
con un lavoro pionieristico sulla dinamica. Eppure nemmeno uno dei suoi manoscritti
sopravvive!

Ma ancora non abbiamo parlato dell'\hskip1pt invenzione pi\`u profonda di
Eudosso. Con senso di grande costernazione i pitagorici avevano scoperto
che il rapprto fra la diagonale del quadrato ed un suo lato non \`e un numero
intero: la radice quadrata di due \`e irrazionale, con tutto il peso
emozionale ed intellettuale che questa parola possiede. Era una vera crisi
della religione. Se i numeri sono la sola divinit\`a, la fonte di tutto,
come potrebbe essere cos\`\i? Dobbiamo forse ammettere nel panteon anche
le grandezze? Sembra di s\`\i, visto che la descrizione pitagorica
del quadrivio, nel periodo successivo a questa sconvolgente scoperta, 
era la seguente:
\bigskip

\halign{\qquad\qquad#\hfil&\quad#\hfil\cr
        aritmetica:& numeri in riposo\cr
        musica:&      numeri in moto\cr
        geometria:&   grandezze in riposo\cr
        astronomia:&  grandezze in moto\cr
}\bigskip

Ma Eudosso elimin\`o il dualismo tra numero e grandezza. 
Ecco la sua idea: invece di dire che cosa {\it \`e} il rapporto
fra due grandezze, basta specificare quando {\it due} di tali
rapporti (che forse non esistono) {\it sono uguali}. Questo
straordinario risultato intellettuale Eudosso l'ha ottenuto
tramite una sottile quantificazione su tutti i numeri
pitagorici. Eppure, malgrado questa costruzione del sistema dei
numeri reali (positivi) fosse stata esposta
negli {\it Elementi\/} in modo che tutti la potessero leggere, 
essa non fu capita,
nemmeno da Galilei. Fu solamente nel secolo scorso che la
costruzione fu inventata di nuovo da Richard Dedekind.
Non conosco niente di simile nella storia del pensiero umano!

Eudosso in pratica defin\`\i\ una nozione d'ugualianza fra due cose come
mezzo per costruire le cose stesse. Ecco un trionfo del formalismo,
una vittoria della sintassi sopra la semantica!
\bigskip\goodbreak

{\noindent\bf L'origine dei numeri}\medskip

Dal punto di vista di una fede monoteista, respingiamo 
l'\hskip1pt idea
religiosa di numeri come enti divini e increati. Allora che cosa sono
i numeri? Sono forse stati creati? Ho scritto altrove:
\medskip

{\narrower\ninerm\baselineskip=12pt
Il detto famoso di Kronecker, che Dio cre\`o i numeri, tutto il resto
\`e l'opera dell'uomo, presumabilmente non era da prendersi
sul serio. Nel libro di Genesi, non troviamo infatti il passaggio:

``E Dio
disse: `Ci siano i numeri!' E i numeri furono, dispari e pari
Egli li ha creati. E disse loro: `Siate fecondi e moltiplicatevi.'
E comand\`o loro di ubbedire alle leggi d'\hskip1pt induzione.''

}\medskip

Tutta la creazione \`e contingente; l'essere di ogni cosa creata dipende
dal volere del Creatore. Se i numeri sono
increati, allora sono divini -- questo lo respingiamo. Se i numeri
sono stati creati, allora sono contingenti -- questo lo troviamo
assurdo. Che altra possibilit\`a c'\`e? Semplicemente che non
esistono i numeri -- fino a che non vengono fabbricati da
esseri umani. Nonostante l'asserzione di William Butler Yeats
``Things out of perfection sail,'' ben pochi sosterebbero che il
poema che comincia con questa frase esisteva prima dell'atto della sua
composizione da parte di
Yeats. Perch\`e allora noi matematici -- artigiani come i poeti
e i musici -- descriviamo il nostro lavoro come scoperta invece
che come invenzione? Questa \`e la religione pitagorica.

Come sarebbe il mondo se Dio non avesse creato i numeri? Sarebbe
esattamente uguale a com' \`e ora. Non c'\`e la minima indicazione
che i numeri siano stati creati. Se io ti do un problema di addizione
quale:
$$\eqalign{
           &37460225182244100253734521345623457115604427833\cr
        +\ &52328763514530238412154321543225430143254061105\cr
	&\overline{\phantom{52328763514530238412154321543215432143254061105}}\cr
}$$
\vskip-12pt\noindent
e tu sei il primo a risolverlo, allora avrai creato un numero che
prima non esisteva.

Ma questa invenzione non far\`a grande sensazione nella
communit\`a dei matematici. Non \`e questo il tipo di numero al
quale principalmente c'\hskip1pt interessiamo. Pi\`u interessanti per noi 
sono gli
$n$, $a$, $b$, $c$, e~$d$ nel teorema di Lagrange:
$$\forall n \,\exists a \,\exists b \,\exists c \,\exists d
\,[\,n=a^2+b^2+c^2+d^2\,].$$
Questo si pu\`o leggere: ``per ogni~$n$ esistono
$a$, $b$, $c$, e~$d$ tali che $n$~\`e uguale a $a$ per~$a$ pi\`u
$b$ per~$b$ pi\`u $c$ per~$c$ pi\`u $d$ per~$d$ -- cio\`e, ogni
numero \`e la somma di quattro quadrati. Che significa questa frase?

Significati diversi sono stati ascritti a questa formula. Mio padre
-- il cui lavoro all'Associazione Cristiana dei Giovani (YMCA),
allora sita in Piazza Indipendenza qui a Roma, fu la causa della 
mia prima permanenza in questa citt\`a nel 1938, allorch\'e frequentai
la prima elementare in una scuola vicina
a Piazza Pitagora --
aveva l'abitudine, quando guidava, di osservare il numero sulla targa
della macchina che ci precedeva e trovare a mente $a$, $b$, $c$,
e~$d$. 
Ecco allora un tentativo a dare un significato: una sfida o un insieme di sfide alla
computazione. Il teorema infatti parla di {\it ogni\/}~$n$.
\bigskip\goodbreak

{\noindent\bf Una prima prospettiva sulla matematica: il realismo}\medskip

Tradizionalmente il teorema aveva il
significato che per ogni numero 
$$n=0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ \ldots$$
esistono numeri $a$, $b$, $c$, e~$d$ tali che $n$~\`e uguale
alla somma dei loro quadrati. 
Fino all'\hskip1pt inizio di questo secolo, con la critica
intuizionista incisiva
di L.~E.~J.~Brouwer, questa interpretazione era accettata da quasi
tutti come chiara e senza ambiguit\`a.
La matematica basata su questo concetto \`e chiamata {\it classica}.
Molte prove della matematica classica dimostrano che esiste un'oggetto
con una certa propriet\`a senza dare nessun modo di costruire un
tale oggetto. Si dimostra che la supposizione che un qualsiasi oggetto
non soddisfi la propriet\`a \`e insostenibile -- la supposizione conduce
ad una contradizione -- e quindi si conclude che deve esistere
un'oggetto che ha la propriet\`a in questione. Dunque 
la matematica classica \`e 
fondata sul concetto di oggetti matematici che esistono eternamente
nella realt\`a platonica -- o meglio, pitagorica.
\bigskip

{\noindent\bf Una seconda prospettiva sulla matematica: 
l'\hskip1pt intuizionismo}\medskip

Nella prima parte di questo secolo, Brouwer attac\`o vigorosamente 
quest'\hskip1pt interpretazione come priva di significato. 
L'\hskip1pt intuizionismo \`e
una forma di costruzionismo; dire che un'oggetto matematico esiste
significa, per Brouwer, che si sa costruirlo.

Per la formula che riguarda i quattro quadrati, non esiste problema
secondo Brouwer: dato~$n$, i numeri $a$, $b$, $c$, e~$d$ devono
essere pi\`u piccoli di~$n$, sicch\`e c'\`e solamente un insieme
finito da ricercare.
Questa frase arrogante ``solamente un insieme finito'' \`e molto
comune fra i matematici, e mi sono divertito a sentirla pronunciare anche
da mogli e mariti di matematici. Alla fine di questo secolo,
colla venuta dei calcolatori digitali -- i quali, ci piaccia 
o no (a me s\`\i), hanno un'\hskip1pt influenza profonda sulla matematica --
si pu\`o fare l'obbiezione che una tale ricerca non \`e fattibile:
\`e possibile scrivere su un pezzo di carta un numero~$n$
tale che nessun calcolatore, da ora fino al ```Big Crunch'', al Grande Collasso,
del nostro universo o qualsiasi altra fine sia tenuta in serbo per esso,
potr\`a mai
completare la ricerca di
tutti i numeri $a$, $b$, $c$, e~$d$
inferiori a~$n$. Il problema da elucidare matematicamente per capire la
natura di una computazione fattibile, effettiva, \`e attualmente al centro 
della ricerca matematica ed informatica ed \`e un problema davanti a cui
tanto il realismo quanto \hbox{l'\hskip1pt intuizionismo} sono impotenti.

La posizione di Brouwer fu vigorosamente criticata da Hilbert, che
difese la matematica classica vestendo i panni del formalista.
Un dibattito spiacevole, acrimonioso, e non necessario segu\`\i a questa
critica.
(Prendo al volo quest'occasione per ringraziare gli organizzatori 
di quest' avvenimento che mi da l'opportunit\`a di dibattere, in uno
spirito ben diverso, col Professore De~Giorgi. \`E un gran
piacere per me, dopo tanti anni, d'\hskip1pt incontrarlo finalmente di persona
e di poter comunicare e discutere con lui le nostre idee sui fondamenti della
matematica.)
Il dibattito Brouwer-Hilbert non era necessario perch\`e ambedue partivano
da una premessa sbagliata: quella che l'\hskip1pt intuizionismo
di Brouwer fosse una {\it limitazione\/} della matematica
classica. Ma G\"odel dimostr\`o in un'articolo breve, pubblicato
due anni dopo lo storico teorema d'\hskip1pt incom\-pletezza del 1931,
che in verit\`a l'\hskip1pt intuizionismo \`e un'{\it estensione\/} della
matematica classica. Almeno, cos\`\i\ \`e per l'aritmetica
(teoria dei numeri), mentre meno si parla dell'analisi intuizionista
meglio \`e.

Ecco una descrizione un poco -- ma solo un poco -- semplificata
del ragionamento di G\"odel. Per un'\hskip1pt intuizionista,
$\exists x\,{\rm A}(x)$ significa ``so costruire un'$x$ con
la propriet\`a~A($x$).'' Certo, questo implica 
$\neg\forall x\neg\,{\rm A}(x)$~:
``non si da il caso che per ogni~$x$  $x$ manchi della propriet\`a~A($x$)'';
anche se l'\hskip1pt implicazione nel senso inverso certamente non \`e valida.
Ma un realista interpreta $\exists x\,{\rm A}(x)$ come
``nell'universo astratto pre-esistente degli oggetti matematici,
esiste almeno uno di questi ogetti,~$x$, con la propriet\`a~A($x$).''
E per il realista, questo equivale a $\neg\,\forall x\neg\,{\rm A}(x)$,
che ha lo stesso significato tanto per il realista quanto per 
l'\hskip1pt intuizionista $\big($ammesso che vadano d'accordo sul significato
di~A($x$)$\big)$. Similmente, per un'\hskip1pt intuizionista 
${\rm A}(x) \vee {\rm B}(x)$ significa ``$x$~ha la 
propriet\`a~A($x$) oppure $x$~ha la propriet\`a~B($x$), e so dire
quale dei due casi \`e valido.'' Questo \`e pi\`u forte di
$\neg[{\rm A}(x) \;\&\;{\rm B}(x)]$ -- cio\`e,
``non si da il caso che $x$~manchi della propriet\`a~A($x$) e
$x$~manchi della propriet\`a~B($x$).'' Ma per il realista, tutt'e due
significano la stessa cosa nel cielo pitagorico. G\"odel ci dice
essenzialmente: per ogni formula $\exists x\,{\rm A}(x)$ in
una prova classica, sostituite $\neg\forall x\neg\,{\rm A}(x)$
e per ogni ${\rm A}(x) \vee {\rm B}(x)$, sostituite 
$\neg[\neg\,{\rm A}(x) \;\&\;\neg\,{\rm B}(x)]$. Il realista sar\`a contento,
perch\`e per lui le formule sono equivalenti; \hbox{l'\hskip1pt intuizionista} accetta 
le sostituzioni come spiegazione dell'\hskip1pt intendimento del realista.
E allora risulta (e questo \`e un fatto indipendente da qualsiasi
prospettiva sulla matematica) che la prova classica trasformata
in questo modo diventa una prova intuizionista del teorema
trasformato!

Alla luce del risultato di G\"odel, possiamo dire che quello che
veramante ha fatto Brouwer era di estendere la matematica classica
tramite la creazione di due nuovi operatori logici: 
l'{\it esiste costruttivo\/} e l'{\it oppure costruttivo},
operatori pi\`u forti di quelli classici correspondenti.
Sfortunatamente l'articolo di
G\"odel non ha ricevuto l'attenzione o l'\hskip1pt interpretazione dovuta,
e l'alterco squallido si \`e prolungato.
\bigskip\goodbreak

{\noindent\bf Una terza prospettiva sulla matematica: il formalismo}\medskip

Il formalismo ha una risposta semplice alla questione del significato
di
$$\forall n \,\exists a \,\exists b \,\exists c \,\exists d
\,[\,n=a^2+b^2+c^2+d^2\,]:$$
non significa niente. (Voglio subito chiarire un punto. Forse sarebbe
meglio dire che la formula non denota niente. La matematica, come la 
musica, \`e significativa, ma oramai non si dice pi\`u dei 
passaggi di un brano musicale: questo denota un'uccellino e quello denota un
venticello. Ma i non-formalisti insistono ancora oggi a dare
una denotazione a ogni passaggio di matematica.)
I simboli nella formula sono segni sulla carta, e il compito
del matematico \`e l'\hskip1pt inventare concatenamenti profondi e belli
di tali segni secondo certe regole strette. Quando si discute
la matematica, si pu\`o parlare in termini di verit\`a o
delle immagini visuali, ma questo \`e senza rapporto col fare
la matematica
quanto la critica dell'arte \`e senza rapporto col fare l'arte.

Hilbert si chiamava un formalista, e infatti ha coronato la sua
carriera con lavori profondi e brillanti sui fondamenti della
matematica dalla prospettiva formalista. C'\`e comunque ogni ragione
di sospettare che Hilbert non abbia mai rinunciato alla fede
pitagorica, che per lui, cio\`e, il formalismo sia stato essenzialmente
una tattica nella
battaglia contro Brouwer.

Concludo con un'apologia breve ma appassionata del formalismo.

Come descrizione di quello che, durante un periodo di ben pi\`u di
due millenni, i matematici hanno sempre fatto e sempre curato,
la formulazione formalista 
della matematica \`e giusta e non trascura niente.
\`E alla ricerca delle prove che dedichiamo le nostre vite; se una prova
si conforma alle regole formali, \`e corretta; se no, non \`e una
prova e non vale nulla a meno che non suggerisca il modo di
scoprire una prova. Nessun'altro campo d'attivit\`a umana ha
mantenuto un tale consenso per un'estensione di spazio e
di tempo cos\`i vasta.

Il formalismo nega rilevanza di verit\`a alla matematica. Ma,
si potrebbe obbiettare, la matematica funziona -- l'evidenza \`e
dappertutto. Questo fatto non implica forse che la verit\`a si trova
nella matematica? Nemmeno in parte. 
Supponiamo di scoprire un popolo primitivo, oppure di scoprire un popolo
avanzato, ma, in ogni caso un popolo con una prospettiva sul mondo
completamente diversa dalla nostra, e supponiamo che
questo popolo abbia un'erba molto efficace
contro una certa malattia. Questo popolo spiega l'efficacia
della sua erba in termini
dell'azione divina degli {\it shuki\/} sulle {\it okrus\/} del
corpo (parole intraducibili per noi). Ammettiamo ora di scoprire che l'erba
\`e in grado di guarire i malati anche nella nostra societ\`a.
Quanta evidenza deriva
da questo fatto per giustificare la credenza negli {\it shuki\/}?
Nessuna.
La sintassi \`e corretta; la semantica non conta. Ed \`e cos\`\i\ anche 
con la matematica. Funziona. Ma questo fatto non fornisce alcuna evidenza
per credere che la religione della matematica contenga anche un solo grano
di verit\`a.

Nella matematica, la realt\`a si trova nelle espressioni 
simboliche stesse, non nelle entit\`a astratte che 
le espressioni sono supposte di denotare. 
Il simbolo~$\exists$ \`e semplicemente
un~E a rovescio. Se concludiamo che una certa entit\`a esiste
solo perch\`e abbiamo costruito in un certo sistema 
formale la prova di una certa formula che comincia per~$\exists$,
lo facciamo a nostro rischio e pericolo.
La dimora del significato \`e la sintassi; la semantica \`e
la casa dell'\hskip1pt illusione.

Come posso continuare a essere matematico quando ho perduto la fede
nella semantica della matematica? Perch\`e dovrei voler
continuare a fare matematica se non credo pi\`u che
esistono i numeri e i processi stocastici e gli spazi di Hilbert?
Rispondo con un'altra domanda: e perch\`e un compositore 
dovrebbe voler comporre la
musica se poi essa \`e non-rap\-presentazionale? 
La matematica \`e l'ultima delle arti
a diventare non-rappresentazionale.

Lentamente, dunque,
la matematica comincia a diventare non-rap\-presentazionale.
Lentamente nei dipartimenti di matematica, ma rapidamente nei
dipartimenti d'\hskip1pt informatica. Coloro che fanno informatica
sanno di inventare invece di scoprire, e fabbricano dei risultati
belli e profondi sulla natura delle computazioni fattibili.
Se noi che ci troviamo nei dipartimenti tradizionali non
vogliamo mancare alla partenza della nave, ci conviene
sellare un cavallo formalista senza indugio.

Le credenze astratte influenzano le azioni concrete. Nonostante
la completa mancanza di giustificazione, la prospettiva semantica
sulla matematica -- la scoperta di propriet\`a di entit\`a che
esistono in un mondo pitagorico -- ha servito
abbastanza bene la matematica durante un lungo periodo. Ma ora \`e
il momento di andare avanti, di scartare la prospettiva semantica,
e di concentrarci sul reale nella matematica. E ci\`o che \`e
reale nella matematica \`e la notazione, non la denotazione
imaginata.

Che sia sufficiente un solo breve esempio. La creazione da parte
di Abraham Robinson dell'analisi non-standard era una 
semplificazione e un'estensione rivoluzionarie della pratica
matematica, ma la communit\`a matematica \`e stata molto lenta,
o persino avversa, ad adottarla. La ragione \`e che 
l'analisi non-standard \`e contraria alla religione pitagorica.

Siamo troppo timidi. Se non possiamo pervenire alla 
profondit\`a di Eudosso, possiamo almeno emulare la sua prontezza
ad opporsi alle opinioni universalmente sostenute.

\bye





