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1. Cercher\`o alla fine di questa presentazione di rispondere alla domanda:
qual'\`e il cuore della matematica? Ma prima \`e necessario discutere la
natura della matematica. E voglio concentrare su un'aspetto strano e interessante
della matematica: cio\`e, il potere del paradosso.

2. Paradosso \#1.
Cominciamo col paradosso il pi\`u difficile, mentre che siamo ancora svegli.

``Per studiare il ragionamento matematico, \`e necessario togliere ogni {\it
significato}\/ dal ragionamento.''

Vedi il panello 7 \dots

Certamente, questo procedimento non ha senso per la scienza, ma la matematica
non \`e una scienza. Forse l'anologia migliore \`e la musica. Che significato
ha l'inizio della quinta sinfonia di Beethoven? Non {\it significa}, ma {\it \`e}.

3. ``Per esempio, nella formulazione originaria dell'aritmetica di Peano, il principio
d'induzione matematica richidieva la comprensione della nozione di {\it propriet\`a},
e similmente per la teoria degli insiemi di Zermelo.''

Oggi c'\`e un modo chiaro per distinguere tra un sistema di assiomi che richiede una
comprensione del significato e un sistema formale: nel secondo caso si pu\`o
programmare un computer con il sistema, ma non nel primo caso.

I sistemi di Peano e Zermelo, nelle formulazioni originarie, falliscono a questo
criterio.

4. Giuseppe Peano (1859-1932)

5. Ernst Zermelo (1871-1953)

6. Lo studio del {\it ragionamento}\/ matematico come esso stesso una parte
della matematica, cio\`e una struttura {\it astratta}, \`e dovuto al grande
matematico David Hilbert (1862-1943). \`E stato lui che ha capito che per studiare
il {\it ragionamento}\/ mate\-matico con la stessa chiarezza e precisione con le quali
i matematici studiano l'analisi e la geometria, \`e necessario scatare la semantica
e concentrare sulla sintassi.

Ogni progresso successivo nella logica matema\-tica dipende da questo discernimento 
di Hilbert, per esempio

7. i teoremi di incompletezza di G\"odel (1906-1973) 
-- G\"odel \`e stato chiamato il pi\`u grande logico dopo Aristotele, ma forse 
sarebbe meglio chiamare Aristotele il pi\`u grande logico avanti G\"odel --

8. i teoremi di indipendenza nella teoria degli insiemi di Cohen (1934-2007) -- 
Paul ed io eravamo studenti insieme all'uni\-versit\`a di Chicago --

9. e le applicazioni della logica a problemi difficili dell'algebra da Julia Robinson
(1919-1985)

10. Paradosso \#2.
Ecco un'altro parodosso potente, il paradosso di G. G. Berry (1867-1928), un
biliotecario alla Bodleian: Consideriamo

{\it il minimo numero non nominabile in meno di undici parole}

Questo \`e una presentazione di matematica. Dunque, facciamo l'atto il pi\`u
primitivo della mate-matica: contiamo

11.-- 20.

Abbiamo nominato questo numero con dieci parole!

21. Sembra una sciocchezza, ma George Boolos (1940-1996) ha usato quest'idea per
dare una dimostrazione {\it molto}\/ pi\`u semplice del primo teorema di incompletezza 
di G\"odel (per essere precisi, il teorema di G\"odel-Rosser).

22. Paradosso \#3.
``Le equazioni della meccanica quantistica hanno una soluzione ben determinata, ma
le predizioni della teoria non sono determinate.''

Nella meccanica quantistica si pu\`o predire soltanto la {\it probabilit\`a}\/
di un risultato. \`E per questo che Einstein non ha mai accettato la teoria come
una teoria completa. La meccanica quantistica \`e la teoria scientifica la pi\`u
potente che ci sia, ma pi\`u di ottanta anni dopo l'inizio di questa teoria non c'\`e
nessun consenso sull'{\it interpretazione}\/ della teoria. Ci ho lavorato io
per anni, ma sono tanto perplesso oggi che all'inizio.

Questo \`e un paradosso ancora non risolto.

23. Ecco l'equazione fondamentale della meccanica quantistica, l'equazione
di Schr\"odinger. \`E bella semplicemente come un disegno, non \`e vero?

24. Ed ecco Schr\"odinger (1887-1961).

25. Paradosso \#4.
``Un oggetto pu\`o essere ruotato 360 gradi e entarare in un altro stato fisico,
ma dopo due giri interi (720 gradi) ritorna allo stesso stato.'' 

Cos\`\i\ \`e l'elettrone di Dirac.

26. Paul Dirac (1902-1984).

{\it dimostrazione con la cintura}

27. Paradosso \#5. 
``Il rapporto tra la diagonale di un quadrato e il lato \`e irrazionale.''

Queto \`e il primo grande teorema della matematica, dovuto ai pitagorici.

28. Pitagora (c. 570-c. 495 AC)

29. -- 30.

31. Paradosso \#5. 
``Il moto casuale dimostra regolarit\`a straordinarie.''

32. Mille esempi del processo di Wiener (moto browniano).

33. Qusto risultato vuol dire che il moto casuale, stocastico, {\it certamente}
dopo $n$ passi non devia molto pi\`u di $\sqrt n$ dal punto di partenza.

Nota bene la formula; la rivedremo.

34. Ultimo paradosso, \#6.
``I problemi i pi\`u semplici a proporre possono essere i pi\`u difficili a risolvere.''

35. Bernhard Riemann (1826-1866)

36. 

37. August M\"obius (1790-1868)

38. Ecco una forma dell'ipotesi di Riemann, il pi\`u importante problema
aperto della matematica.
Vuol dire che la somma dei valori della funzione di M\"obius si comporta esattamente
come il moto stocastico. E perch\`e no? Perch\`e i numeri dovrebbero avere una preferenza
per un numero {\it pari}\/
di divisori primi, o vice versa? Ma nonostante i tentativi dei pi\`u
grandi matematici da pi\`u di 150 anni, nessuno ha potuto risolvere questo problema.

Forse questo problema non ti sembra molto semplice. Ma se anche un matematico apre a caso
un periodico di matematica, se non \`e esperto nel ramo della matematica trattato
nell'articolo, probabilmente non capir\`a un bel niente.

Ecco un altro problema aperto, ancora pi\`u semplice (ma meno importante). Un numero
\`e chiamato {\it perfetto}\/ se \`e la somma dei suoi divisori. Per esemipio,
$6=1+2+3$ \`e perfetto, perch\`e 1, 2, e 3 sono i divisori di~6. Anche
$28=1+2+4+7+14$ \`e perfetto. Questo concetto risale a Pitagora, 2500 anni fa.
Eclide ha dimostrato un bel teorema sui numeri perfetti pari, e 2000 anni dopo, nel
settecento, Euler ha dimostrato l'inverso del teorema di Euclide.

Ma esiste un numero perfetto dispari? Questo problema rimane irresoluto dopo 2500 anni,
e ci si lavora ancora. In quale altro campo si pu\`o dire che lo spirito umano
dimostra tanta tenacia? In ben pochi. Questo problema non \`e importante per la 
tecnologia, e non \`e nemmeno importante per lo sviluppo ulteriore della matematica
pura, ma {\it dobbiamo sapere.}

39. Ecco il cuore della matematica, quella natura che ci spinge a desiderare cose grandi.
La matematica \`e utile per la scienza e per la tecnologia, ma il {\it cuore}\/ della
matematica \`e la battaglia contro l'ignoto.

Ecco la tomba di David Hilbert. Ci sta iscritto: 
Wir M\"ussen Wissen -- Wir Werden Wissen'' 

Dobbiamo Sapere -- Sapremo.

\bye
